数学中偏微分方程的神秘领域又被突破了！

中国科学技术大学的陈世兵教授等人开发了一套新的数学方法，直接打破了该领域专家20多年来的既有认知。

相关论文已被四大数学顶级期刊之一的《数学年刊》接受，将在下期正式发表。

本文突破了一个关键的非线性偏微分方程，它与我们在机器学习中熟悉的最优传输理论密切相关。

最优传输理论就像寻找货物从A到B的最佳运输方式一样，通过几何方法测量概率分布的距离，并对概率分布进行建模和机器学习中的W—GAN一样，属于最优传输问题

卡拉比的猜想使丘成桐院士获得了1982年的菲尔兹奖，并被证明与这个方程有关。

2018年，菲尔兹奖再次授予了对这个方程和最优传输问题做出贡献的阿莱西奥费加利。

有哪些方程如此关键，这次数学家又有哪些重要突破。

让我们来看看。

最优传输逃不掉方程。

这个关键的非线性偏微分方程叫做加斯帕尔蒙日—安培方程。

它是由18世纪法国数学家加斯帕尔提出的加斯帕尔蒙日对最优传输问题的研究

最初，这一理论主要用于解决物体运输的不连续分布问题，类似于搬运箱子:

将ABC的原盒运输到CDE目的地，确保每个目的地都有一盒，从而找到最佳的运输方式。

后来，加斯帕尔蒙日开始思考一类问题:对于一个连续分布的物体，比如一团沙子，用什么方法把它运到一个等体积的洞里，哪个最省力。

他发现许多在这种连续情况下的最优传输问题可以转化为一类方程的边值问题。

继加斯帕尔蒙日之后，安培进一步研究了它，这个方程也被命名为加斯帕尔蒙日—安培方程:

加斯帕尔蒙日—安培方程的一般形式。

如何理解这个方程。

当通过图像匹配进行搜索时，搜索图像功能会将输入图像与在线图像进行比较以黑白照片为例，色深可以看作一个概率分布

因此，两张照片的匹配问题可以看作是两个概率分布的匹配问题。

1991年，Yann发现这类连续概率分布的匹配问题可以写成梯度图y=Du ，其中u是凸函数，满足:

根据黑森矩阵，有:

其中是u的Hesse矩阵的特征根，的k次初等多项式，

当k=1时，就是大家熟悉的拉普拉斯方程当k=n时，就是加斯帕尔蒙日—安培方程

最近几年来，伴随着深度学习的快速发展，最优传输问题成为研究热点，对加斯帕尔蒙日—安培方程的研究也进一步兴起。

著名的瓦瑟斯坦GAN通过计算瓦瑟斯坦距离提高了GAN的稳定性。

求解瓦瑟斯坦距离是一个最优传输问题，需要加斯帕尔蒙日—安培方程。

纽约州立大学石溪分校的顾险峰教授认为，深度学习中使用的数据可以看作是高维数据空间中低维流形上的概率分布。

GAN是学习这个流形的结构，用编解码映射来表示，然后将GAN隐藏空间中的数据分布转化为几何最优传输问题。

据顾先锋教授介绍，最近几年来伴随着医学影像技术，无线通信技术，3D打印技术和VR/AR技术的发展，以加斯帕尔蒙日—安培方程为代表的非线性偏微分方程理论在CS等工程领域得到了广泛应用。

那么，陈世兵教授等人在《数学年刊》年发表的研究中有什么突破呢。

打破20多年的定论。

研究方程的一个重要方法是研究解的性质。

加斯帕尔蒙日—安培方程理论也不例外，它主要研究解的存在性，唯一性和平滑性。

光滑性通常用来描述函数的光滑性如果一个函数是光滑的，它在数学定义上是无限可导的

其中，Alexandrov给出了存在性证明，也证明了弱解的唯一性。

自1996年以来，关于平滑度的研究一直局限于某些条件。

在1996年的里程碑式的工作中，卡法瑞利证明了当两个区域一致凸且密度函数光滑时，最优传输解是光滑的。

但是有一些限制:两个区域是一致凸的，密度函数是光滑的。

20多年来，该领域几乎所有专家都认为这些条件是必不可少的。

可是，在本研究中，陈世兵等人去掉了两个区域的一致凸条件，甚至降低了边界光滑性的要求，证明了自然边界条件下加斯帕尔蒙日—安培方程的整体光滑性。

这是加斯帕尔蒙日—安培方程研究的一大进步，相当于把一个定理的范围扩大到更广的领域。

根据镇海中学紫音山下微博的账号信息，陈世兵是2001年宁波镇海中学的校友。

镇海中学是浙江省的一所强校除了陈世兵，IOI金牌得主罗玉祥也来自这里

陈世兵毕业于北京大学数学系，博士毕业于加拿大多伦多大学。

曾先后在美国国家数学科学研究所和澳洲国立大学任博士后，与菲尔茨奖得主 Alessio Figalli 以及澳大利亚科学院院士汪徐家教授有长期合作。

他的主要研究领域为非线性偏微分方程，除了蒙日—安培方程之外也在曲率流，不等式以及 Lp Minkowski 问题方面取得了若干成果，目前已发表 SCI 论文十余篇。

同时，他还厘清了反射曲面设计，自由曲面透镜设计等价于球面上的最优传输问题，也等价于球面上的蒙日—安培方程。

国内学者在这一方程上的突破历程，可以说是非常精彩了。